第 1 章 緒論
1.1 問題提出
1.1.1 數學思想的重要性
隨著時代的發展，在數學學習過程中，學生學習的并不僅僅是數學知識本身，更要領悟知識背后的數學思想，培養學習數學的能力。同樣，數學教育的目的也不僅僅是教會學生數學知識，而是使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識和技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可代替的作用。美國教育家布魯納曾在《教育過程》一書中提出學習數學知識在數學思想的引導下，不僅可以使數學學習相對容易，還能培養學生的總結概括能力并促進其他學科的學習1?？梢?，在數學學習過程中掌握數學思想是學習數學知識的一條重要途徑，從短期來看，可以提高學生的數學成績，從長遠來看，可以培養學生的數學素養。
1.1 問題提出
1.1.1 數學思想的重要性
隨著時代的發展，在數學學習過程中，學生學習的并不僅僅是數學知識本身，更要領悟知識背后的數學思想，培養學習數學的能力。同樣，數學教育的目的也不僅僅是教會學生數學知識，而是使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識和技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可代替的作用。美國教育家布魯納曾在《教育過程》一書中提出學習數學知識在數學思想的引導下，不僅可以使數學學習相對容易，還能培養學生的總結概括能力并促進其他學科的學習1?？梢?，在數學學習過程中掌握數學思想是學習數學知識的一條重要途徑，從短期來看，可以提高學生的數學成績，從長遠來看，可以培養學生的數學素養。
《義務教育數學課程標準（2011 年版）》（以下簡稱《課標（2011 版）》）在課程目標的總目標中明確指出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。”2這是我國數學教育目標從“雙基”到“四基”的一個重大發展。根據這一內容，可以得知數學的基本思想在義務教育階段數學教學中有著與數學的基礎知識、基本技能、基本活動經驗同樣重要的地位。所以，在小學數學教學中應根據教學內容進行數學基本思想的滲透，在落實課標要求的同時，培養學生全面發展。并且，《課標（2011 版）》在課程基本理念中提到“要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系”；在課程設計思路中提到“使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程”；在第一學段的學段目標中提到“經歷從日常生活中抽象出數的過程”、“經歷簡單的數據收集、整理和分析的過程，了解簡單的數據處理方法”；在第二學段的學段目標中提到“體驗從具體情境中抽象出數的過程”、“探索一些圖形的形狀、大小和位置關系”、“初步形成數感和空間觀念，感受符號和幾何直觀的作用”、“體會一些數學的基本思想”。1所提內容與數形結合思想不謀而合，可見數形結合思想在小學數學基本思想中的重要性。此外，《課標（2011 版)》中的十大核心概念中的幾何直觀、推理能力、模型思想均體現著數形結合思想，進一步說明了數形結合思想在小學數學中的重要地位。
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1.2 研究的目的和意義
1.2.1 研究目的
如上所述，本研究的目的在于通過問卷調查和訪談的形式呈現錫林浩特市小學數學教學中數形結合思想的滲透現狀，并對其進行分析，找到原因，給出合理的教學策略及建議，為在小學數學中滲透數形結合思想提供幫助，給小學數學教師在教學工作中多一份參考，為學生數學學科核心素養的養成這一長期工程打好基礎，為錫林浩特市小學數學教學質量的提升貢獻一份力量。
1.2.2 研究意義
本論文是在結合《課標（2011 版）》、直觀想象、數形結合思想相關理論的基礎上學習前人研究并對錫林浩特市小學數學課堂現狀的分析，以小學數學四年級為調查對象，根據發現的問題提出相應的教學策略，從而豐富這一相關領域的研究，為今后的研究者進一步研究“數形結合思想在小學數學教學中的滲透”提供了一定的借鑒與參考。
根據小學數學教材中所體現的內容編排特點，以及《課標（2011 版）》中的課程目標中所提出的要求，教師在備課過程中很少將數形結合思想的培養納入教學目標中，對數形結合思想不滲透或滲透不夠。出現這種現象的大部分原因，是教師自身缺少相關的理論和對策，本論文為教師提供小學階段為什么要深入滲透和如何深入滲透數形結合思想的理論支撐，為教師創新教學設計提供具體建議。
從自身角度來看，本研究能促使我更加自覺地在教學中滲透數形結合思想，更加自覺地去研讀課標、研究教材，把教材中的數學思想方法教授給學生。在培養學生的同時提升自己的教學能力，為本校數學教學水平的提升略盡綿薄之力。
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第 2 章 數形結合思想及其教育價值分析
2.1 數形結合思想的概念界定
2.1.1 數學思想
現代漢語中，思想是指客觀存在的反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果?！掇o?！贩Q思想為理性認識，《中國大百科全書》認為思想是相對于感性認識的理性認識結果。根據以上解釋，可見思想是認識的高級階段，是事物本質的、抽象的、概括的認識。王培德在《數學思想應用及探究——建構教學》一書中提到：“數學思想是對數學事實、概念、理論與方法的本質認識，是體現于基礎科學中的具有奠基性、總結性的內容。”
將以上內容進行歸納，可以看出數學思想是源于數學知識卻高于數學知識的一種具有指導意義的認識，這種認識從數學事實的本質出發指導數學的建立與使用，是眾多數學知識的向導。它既蘊含于數學知識內容當中，又隱藏在運用數學理論分析、處理和解決問題的過程中。比如我們經常用到的劃歸與轉化的思想、或然與必然的思想、數形結合的思想等，這些數學思想指引著我們在數學之海上航行，在需要時引導我們尋找解決問題的具體數學方法，使得人們在數學實踐中很難把數學思想和數學方法嚴格區分開，因此也有學者稱其為數學思想方法。
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1.2 研究的目的和意義
1.2.1 研究目的
如上所述，本研究的目的在于通過問卷調查和訪談的形式呈現錫林浩特市小學數學教學中數形結合思想的滲透現狀，并對其進行分析，找到原因，給出合理的教學策略及建議，為在小學數學中滲透數形結合思想提供幫助，給小學數學教師在教學工作中多一份參考，為學生數學學科核心素養的養成這一長期工程打好基礎，為錫林浩特市小學數學教學質量的提升貢獻一份力量。
1.2.2 研究意義
本論文是在結合《課標（2011 版）》、直觀想象、數形結合思想相關理論的基礎上學習前人研究并對錫林浩特市小學數學課堂現狀的分析，以小學數學四年級為調查對象，根據發現的問題提出相應的教學策略，從而豐富這一相關領域的研究，為今后的研究者進一步研究“數形結合思想在小學數學教學中的滲透”提供了一定的借鑒與參考。
根據小學數學教材中所體現的內容編排特點，以及《課標（2011 版）》中的課程目標中所提出的要求，教師在備課過程中很少將數形結合思想的培養納入教學目標中，對數形結合思想不滲透或滲透不夠。出現這種現象的大部分原因，是教師自身缺少相關的理論和對策，本論文為教師提供小學階段為什么要深入滲透和如何深入滲透數形結合思想的理論支撐，為教師創新教學設計提供具體建議。
從自身角度來看，本研究能促使我更加自覺地在教學中滲透數形結合思想，更加自覺地去研讀課標、研究教材，把教材中的數學思想方法教授給學生。在培養學生的同時提升自己的教學能力，為本校數學教學水平的提升略盡綿薄之力。
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第 2 章 數形結合思想及其教育價值分析
2.1 數形結合思想的概念界定
2.1.1 數學思想
現代漢語中，思想是指客觀存在的反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果?！掇o?！贩Q思想為理性認識，《中國大百科全書》認為思想是相對于感性認識的理性認識結果。根據以上解釋，可見思想是認識的高級階段，是事物本質的、抽象的、概括的認識。王培德在《數學思想應用及探究——建構教學》一書中提到：“數學思想是對數學事實、概念、理論與方法的本質認識，是體現于基礎科學中的具有奠基性、總結性的內容。”
將以上內容進行歸納，可以看出數學思想是源于數學知識卻高于數學知識的一種具有指導意義的認識，這種認識從數學事實的本質出發指導數學的建立與使用，是眾多數學知識的向導。它既蘊含于數學知識內容當中，又隱藏在運用數學理論分析、處理和解決問題的過程中。比如我們經常用到的劃歸與轉化的思想、或然與必然的思想、數形結合的思想等，這些數學思想指引著我們在數學之海上航行，在需要時引導我們尋找解決問題的具體數學方法，使得人們在數學實踐中很難把數學思想和數學方法嚴格區分開，因此也有學者稱其為數學思想方法。
2.1.2 數形結合思想
在古代，“數”表示計數，“形”表示形狀，發展至今，“數”用來表示數量關系，“形”用來表示圖形、實物等空間的概念。數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的學科，數學起源于現實世界的“形”和“數”，“形”和“數”這兩個基本概念是數學的兩塊“基石”，數學學科就是在這兩個基本概念的基礎上建立起來的，離開了“形”和“數”數學的發展就會成為一句空話，數學發展進程中，數和形常常結合在一起，在內容上互相連結，在方法上互相滲透，在一定條件下又互相轉化。伽利略也曾說過，哲學這本書是用數學語言寫成的，符號就是三角形、圓和其他幾何圖形。沒有它們的幫助，會連一個字都看不懂；沒有它們，人們將在一個黑暗的迷宮里勞而無功地游蕩著。由此可見數和形對數學甚至是其他學科的重要性。
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2.2 數形結合思想的教育價值
2.2.1 課標的要求
《課標（2011 版）》將“基本思想”納入課程目標，并且在不同的學段也做出了更詳細的說明。第一學段為小學 1-3 年級，其知識技能目標中這樣寫到：“經歷從日常生活中抽象出數的過程”、“經歷從實際物體中抽象出簡單幾何體和平面圖形的過程”；其問題解決目標中這樣寫到：“了解分析問題和解決問題的一些基本方法，知道同一個問題可以有不同的解決方法”。第二學段為小學 4-6 年級。其知識技能目標中這樣寫到：“體驗從具體情境中抽象出數的過程”、“體驗從具體情境中抽象出數的過程”、“掌握測量、識圖和畫圖的基本方法”；其數學思考目標中這樣寫到：“初步形成數感和空間觀念，感受符號和幾何直觀的作用”、“會獨立思考，體會一些數學的基本思想”。1從以上目標中可以看出數學思想和圖形在小學階段對的重要作用，而數形結合思想正是以“數”與“形”為主要內容的數學思想。因此在小學數學教學中滲透數形結合思想是落實新課程標準要求的體現。
2.2.2 符合小學生的認知特點
根據美國心理學家布魯的認知表征理論可以知道，人們知覺和認識世界時有三種表征系統在起作用，分別是動作性表征、映像性表征和符號性表征。如圖 2-1 所示，表征包括內部表征和外部表征，外部表征是指在傳遞知識的過程中所借助的載體，包括文字表征和圖形表征。根據皮亞杰的兒童認知發展階段理論可知，不同年齡段的學生的認知程度不同，所以小學數學教學中所涉及的數形結合思想也與中學階段不同?？梢园研W數形結合思想中的“數”廣義的理解為數學文字表征，也就是包括數字、文字、算式、符號、數量關系、數學結構、數學概念等。相應地，“形”可理解為圖形表征，包括實物，圖像，圖形，符號、圖表等。對于處在具體運算階段的小學生來說，他們的思維還具有局限性，抽象的邏輯推理還不能進行，離不開具體事物的支持，形象直觀的圖形表征比抽象復雜的文字表征更易接受。因此，學生在數學的內部表征和外部表征共同作用下進行學習，即將“數”與“形”結合起來思考問題，符合小學生的認知特點。
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在古代，“數”表示計數，“形”表示形狀，發展至今，“數”用來表示數量關系，“形”用來表示圖形、實物等空間的概念。數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的學科，數學起源于現實世界的“形”和“數”，“形”和“數”這兩個基本概念是數學的兩塊“基石”，數學學科就是在這兩個基本概念的基礎上建立起來的，離開了“形”和“數”數學的發展就會成為一句空話，數學發展進程中，數和形常常結合在一起，在內容上互相連結，在方法上互相滲透，在一定條件下又互相轉化。伽利略也曾說過，哲學這本書是用數學語言寫成的，符號就是三角形、圓和其他幾何圖形。沒有它們的幫助，會連一個字都看不懂；沒有它們，人們將在一個黑暗的迷宮里勞而無功地游蕩著。由此可見數和形對數學甚至是其他學科的重要性。
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2.2 數形結合思想的教育價值
2.2.1 課標的要求
《課標（2011 版）》將“基本思想”納入課程目標，并且在不同的學段也做出了更詳細的說明。第一學段為小學 1-3 年級，其知識技能目標中這樣寫到：“經歷從日常生活中抽象出數的過程”、“經歷從實際物體中抽象出簡單幾何體和平面圖形的過程”；其問題解決目標中這樣寫到：“了解分析問題和解決問題的一些基本方法，知道同一個問題可以有不同的解決方法”。第二學段為小學 4-6 年級。其知識技能目標中這樣寫到：“體驗從具體情境中抽象出數的過程”、“體驗從具體情境中抽象出數的過程”、“掌握測量、識圖和畫圖的基本方法”；其數學思考目標中這樣寫到：“初步形成數感和空間觀念，感受符號和幾何直觀的作用”、“會獨立思考，體會一些數學的基本思想”。1從以上目標中可以看出數學思想和圖形在小學階段對的重要作用，而數形結合思想正是以“數”與“形”為主要內容的數學思想。因此在小學數學教學中滲透數形結合思想是落實新課程標準要求的體現。
2.2.2 符合小學生的認知特點
根據美國心理學家布魯的認知表征理論可以知道，人們知覺和認識世界時有三種表征系統在起作用，分別是動作性表征、映像性表征和符號性表征。如圖 2-1 所示，表征包括內部表征和外部表征，外部表征是指在傳遞知識的過程中所借助的載體，包括文字表征和圖形表征。根據皮亞杰的兒童認知發展階段理論可知，不同年齡段的學生的認知程度不同，所以小學數學教學中所涉及的數形結合思想也與中學階段不同?？梢园研W數形結合思想中的“數”廣義的理解為數學文字表征，也就是包括數字、文字、算式、符號、數量關系、數學結構、數學概念等。相應地，“形”可理解為圖形表征，包括實物，圖像，圖形，符號、圖表等。對于處在具體運算階段的小學生來說，他們的思維還具有局限性，抽象的邏輯推理還不能進行，離不開具體事物的支持，形象直觀的圖形表征比抽象復雜的文字表征更易接受。因此，學生在數學的內部表征和外部表征共同作用下進行學習，即將“數”與“形”結合起來思考問題，符合小學生的認知特點。
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第 3 章 教材中蘊含的數形結合思想 ............................. 18
3.1 教材中“以形助數”內容的呈現及特點 ..................... 20
3.1.1 教材中“以形助數”內容的呈現 ....................... 20
3.1.2 教材中“以形助數”內容的特點 ....................... 21
第 4 章 小學數學教學中數形結合思想的滲透現狀 ................. 32
4.1 調查的設計與實施....................................... 32
4.1.1 調查目的 ........................................... 32
4.1.2 調查對象 ........................................... 32
第 5 章 促進數形結合思想滲透的教學策略 ....................... 59
5.1 發揮案例作用，體驗“以形助數”功能 ..................... 59
5.2 分析圖形數字特征，認識圖形本質 ......................... 61
第 5 章 促進數形結合思想滲透的教學策略
5.1 發揮案例作用，體驗“以形助數”功能
“以形助數”思想絕不只在一個領域中發揮作用，可以在四年級的各個學習領域中找到應用機會，發揮作用，關鍵是教師要鉆研教材、理解教材，創造性地豐富教材、使用教材，發揮每一個案例的作用，把“以形助數”思想滲透到課堂中去，讓學生體驗“以形助數”的功能。在數與代數領域的教學中，教師可以利用“以形助數”的思想方法，借助“形”的直觀引導學生理解抽象的概念、算理等，做到既知其然又知其所以然。比如學生理解了算理會促進學生對計算方法的掌握方法進而提高學生計算的正確率；在圖形與幾何領域教學中，教師可以根據圖形中所蘊含的數量關系進行逆向思考，將代數問題幾何化，利用幾何圖形形象直觀的優勢解決問題；在統計與概率教學中，教師們可以引導學生將統計圖與統計數據有效結合，讓學生通過分析圖形的變化趨勢來分析數據；在綜合實踐領域教學中，由于該領域教學內容形式比較靈活、內容較廣泛，涉及大量的實踐活動，教師們常常忽略對數形結合思想的滲透。但通常在這樣的綜合活動中才能給學生提供更多的機會去培養數學素養、提高數學能力。
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第 6 章 總結與展望
6.1 論文總結
本研究基于對數形結合思想方法的理解，盡可能全面地梳理出人教版四年級數學教材中數形結合思想方法所屬領域和所在位置。并將數形結合思想分為“以形助數”“以數解形”“數形互助”三部分在錫林浩特市進行調查研究，了解到當地數學教學中對數形結合思想的滲透并不樂觀。由于各種原因教師在教學中不滲透或者滲透不到位，導致學生無法將“數”與“形”有機地結合起來，不利于學生數學的發展
對于小學生來說，學習的主要方式是教師的教，所以學生在學習過程中是否掌握數形結合思想方法、能夠接觸到多少關于數形結合的知識和運用方式，主要取決于教師對數形結合思想的重視程度以及教師自身的數形結合能力。所以教師在教學過程中要注意以下幾個方面：第一，了解什么是數形結合思想及數形結合思想在小學數學中的地位；第二，提升自己的專業素養，能夠發現相應知識點中數量關系與圖形的內在聯系，把握住每一個滲透機會；第三，教師會在多個方面對學生起到示范作用，所以教師個人要正確使用作圖工具，并能夠熟練地畫出準確的幾何圖形、示意圖；第四，要掌握常用的實物圖、線段圖、示意圖、面積圖、點子圖、集合圖以及數軸和幾何模型等多種作圖方法，能夠在教學中靈活應用。“要給學生一碗水，教師必須有一桶水”，只有教師自身的數形結合能力足夠強，才能達到在教學中滲透數形結合思想、培養學生數形結合能力的目的。
自開始本研究以來，我便在自己所帶的四年級的兩個班的教學過程中將數形結合思想進行滲透。在開始滲透時，大多是用數形結合的思想方法幫助學生理解知識、分析題目，并且讓學生仿照這樣的方式去練習。經過一個月的練習學生已經開始形成數形結合的思考習慣，但卻被較差的畫圖能力所限制，所以從第二個月開始，利用一切可以利用的教學機會對學生的畫圖能力進行訓練，并及時評價。大約三周過后，學生用數形結合思想方法解決一些之前認為較難的應用題時不再覺得那么難了，例如，學生之前在解決較復雜的路程問題時總是找不到數量關系，現在學生會根據題目畫出示意圖，使數量關系一目了然，然后順利的解決問題。
參考文獻（略）
自開始本研究以來，我便在自己所帶的四年級的兩個班的教學過程中將數形結合思想進行滲透。在開始滲透時，大多是用數形結合的思想方法幫助學生理解知識、分析題目，并且讓學生仿照這樣的方式去練習。經過一個月的練習學生已經開始形成數形結合的思考習慣，但卻被較差的畫圖能力所限制，所以從第二個月開始，利用一切可以利用的教學機會對學生的畫圖能力進行訓練，并及時評價。大約三周過后，學生用數形結合思想方法解決一些之前認為較難的應用題時不再覺得那么難了，例如，學生之前在解決較復雜的路程問題時總是找不到數量關系，現在學生會根據題目畫出示意圖，使數量關系一目了然，然后順利的解決問題。
參考文獻（略）